අසම්භාවී සම්භාවිතාව | Conditional Probability

  

හැදින්විම  

අපි මේ ආකාරයට ආරම්භ කරමු. මෙමඅවස්ථාව උපකල්පනය කරන්න. මගේ MCQ පත්‍රයට මා විසින්ම පිළිතුරු සපයන්නේ නම් එය 80% කට වඩා ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව 0.3 ක් වන නමුත්, විභාගයේදී මගේ පන්තියේ දක්ෂ ශිෂ්‍යයෙකුගෙන් උපකාර ලබා ගැනීමට මට අවස්ථාවක් ලැබුණහොත් එම සම්භාවිතාව වඩා වැඩි වනු ඇත. අපි 0.9 කියමු. නමුත් මගේ පන්තියේ දක්ෂ ශිෂ්‍යයෙකුගෙන් උපකාර ලබා ගැනීමේ අවස්ථාව / සම්භාවිතාව 0.25 විය හැකිය. මේ සියලු කරුණු සලකා බැලීමේදී මට විභාගයේදී 80% ට වඩා ලබා ගත හැකි සම්භාවිතාව කුමක් ද?

අපගේ ළමා කාලයේ සිටම අපට හුරුපුරුදු රුක් සටහනක් භාවිතයෙන් මෙම ගැටළුව පහසුවෙන් විසඳා ගත හැකිය.   

අපි පහත සම්මුතීන් අනුගමනය කරමු,

• H - විභාගයේදී උදව් ලබා ගැනීම
• H' - විභාගයේදී උදව් නොලැබීම
• S - ලකුණු 80% වඩා ලබා ගැනීම 
• S' - ලකුණු 80% වඩා ලබා නොගැනීම 
• and - ඡේදනය
• or - මේලය
• P(X) - 'X' සිදුවීමේ සම්භාවිතාව

රූපය 1: රුක් සටහන් විසදුම

එබැවින් විභාගයේදී මා 80% ට වඩා ලකුණු ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව ඉහත සටහනේ රතු පාටින් සටහන් කර ඇති සම්භාවිතාවන් දෙකේ එකතුවයි.

P(S) = P(H and S) + P(H' and S) = 0.225 + 0.225 = 0.45

රුක් සටහන් විසදුම මෙයයි. දැන් අපි මෙය රුක් සටහන් භාවිතයෙන් තොරව විසදන්නේ කෙසේදැයි බලමු.

අසම්භාවී සම්භාවිතාව

අසම්භාවී සම්භාවිතාව යනු වෙනත් සිදුවීමක් දැනටමත් සිදුවී ඇතැයි  දී ඇති විට, යම් සිදුවීමක සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමයි. සම්භාවිතාව සෙවීමට අවශ්‍ය සිදුවීම A නම් සහ B සිදුවීම සිදු වූ බව දන්නා හෝ සිදුවී ඇතැයි උපකල්පනය කරන්නේ නම්, “B සිදු වී ඇතැයි දී ඇති විට A සිදු වීමේ සම්භාවිතාව”නැතහොත්  “B සිදු වී ඇතැයි දී ඇති විට A හි අසම්භාවී සම්භාවිතාව” යන්න 

P (A | B) ලෙස ලියනු ලැබේ.

රූප සටහන 2  පරීක්ෂා කරන්න. නියැදි අවකාශය (sample space - E) විශාල සෘජුකෝණාස්රය වන අතර එම නියැදි අවකාශය (E) තුළ A, B සිද්ධීන් සිදු වේ යැයි ගනිමු.

රූපය 2: නියැදි අවකාශය සහ සිදුවීම් දෙක

කිසිවක් නොසළකා A සිදුවීමේ සිද්ධිය ගතහොත්, එය තැඹිලි පාට ප්‍රදේශයයි. ඒ නිසා A සිද්ධිය සිදුවීමේ සම්භාවිතාව පහත ආකාරයට සෙවිය හැක.

රූපය 3: A සහ B සිදධින්

P(A) = තැඹිලි ප්රදේශයේ වර්ගඵලය / සෘජුකෝණාස්ර ප්රදේශයේ වර්ගඵලය

P(A) = P(A) / P(E) 
P(A)= P(A) ; මක්නිසාද P(E) = 1

දැන් සිතන්න B සිදුවීම දැනටමත් සිදුවී ඇතැයි කියා. දැන් මුල් නියැදි අවකාශය තවදුරටත් සැලකිය නොහැකියි. මක් නිසාද යත් B සිදුවීම සිදු වී අවසන් බැවිනි. එම නිසා නව නියැදි අවකාශය B රවුම දක්වා අඩු වී ඇත (රූපය 4 තැඹිලි +කොළ පාට ප්‍රදේශ). මෙතැන් සිට සිදුවන ඕනෑම දෙයක් B ට අදාළ ප්‍රදේශයට පමණක් සීමා වේ. මෙතැනින් පසු A සිදුවීම සිදුවන්නේ නම්, සිදුවිය හැක්කේ B තුළ A ට අදාළ කොටසක් පමණි (එනම්  A සහ B හි ඡේදනය වන කොටස) පමණි.

එම නිසා  B දැනටමත් සිදුවී ඇති බව දී ඇති විට A සිදුවිමේ සම්භාවිතාව නැතහොත් B සිදු වූ විට A හි අසම්භාවී සම්භාවිතාව පහත පරිදි සෙවිය හැක.

රූපය 4: B සිදු වූ පසු නියැදි අවකාශයේ වෙනස්වීම

P(A/B) = තැඹිලි ප්රදේශයේ වර්ගඵලය / තැඹිලි සහ කොළ පාට ප්රදේශවල වර්ගඵලය
P(A/B) = P(A and B) / P(B) ------------ ( 1 )

ඉහත ( 1 ) හි දැක්වෙන්නේ අසම්භාවී සම්භාවිතාවේ මුලික සමිකරණයයි.   

     

ඒ හා සමාන ආකාරයකින් අපට P(B/A) ද ලබා ගත හැකිය,

P(B/A) = P(A and B) / P(A)

එයින් පහත ප්‍රතිඵලය ලබා ගත හැකිය.

P(A and B) = P(A/B) x P(A) ----------- ( 2 )

(1) සහ (2) සමීකරණයෙන් අපට පහත ප්‍රතිඵලය ලබා ගත හැකිය.

P(A/B) = P(B/A) x P(A) / P(B) -------------- ( 3 )

මෙලෙස අසම්භාවී සම්භාවිතාවේ ( 1 ) සමිකරණයේ තවත් ආකාරයක් ලබා ගත හැකිය.

ආපසු උදාහරණය වෙත 

විභාගයේදී 80% ට වඩා ලකුණු ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව සෙවීම පිළිබඳ අපගේ උදාහරණය සිහිපත් කරන්න. අපට ලබා දුන් දත්ත වුයේ,

"මගේ MCQ පත්‍රයට මා විසින්ම පිළිතුරු සපයන්නේ නම් එය 80% කට වඩා ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව 0.3 ක් වන නමුත්, විභාගයේදී මගේ පන්තියේ දක්ෂ ශිෂ්‍යයෙකුගෙන් උපකාර ලබා ගැනීමට මට අවස්ථාවක් ලැබුණහොත් එම සම්භාවිතාව වඩා වැඩි වනු ඇත. අපි 0.9 කියමු. නමුත් මගේ පන්තියේ දක්ෂ ශිෂ්‍යයෙකුගෙන් උපකාර ලබා ගැනීමේ අවස්ථාව / සම්භාවිතාව 0.25 විය හැකිය."

• H - විභාගයේදී උදව් ලබා ගැනීම
• H' - විභාගයේදී උදව් නොලැබීම
• S - ලකුණු 80% වඩා ලබා ගැනීම 
• S' - ලකුණු 80% වඩා ලබා නොගැනීම 
• and - ඡේදනය
• or - මේලය
• P(X) - 'X' සිදුවීමේ සම්භාවිතාව

මේ දක්වා සාකච්චා කළ සංකේත භාවිතයෙන් එම දත්ත ලියා ගනිමු.

මට විභාගයේදී උදව් නොලැබුනේ නම්, 80% ට වඩා  ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව යනු,

P(S/H') = 0.3

විභාගයේදී උදව් ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව යන්නෙන් අදහස් වන්නේ,

P(H) = 0.25

මට විභාගයේදී උදව් ලැබුනේ නම්, 80% ට වඩා  ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව යනු,

P(S/H) = 0.9

දැන් 80% ට වඩා  ලකුණු ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව සොයා ගත යුතුය . ඒ කියන්නේ,

P(S) = ???

2 රුපයේ වෙන් සටහන සිහිපත් කරන්න. A වෙනුවට H ද B වෙනුවට S ද යෙදුවොත්

(විශේෂ: මෙහිදී A සිදුවී ඇතැයි දී ඇති විට B හි සම්භාවිතාව සලකා  බැලිය යුතුය - රූප සටහන 2 හි පැහැදිලි කර ඇති අනෙක් පැත්තයි),

B වර්ගඵලය = A සහ B හි චේදන ප්‍රදේශය + B ට පමණක් අයිති ප්‍රදේශය
        B = (A and B) U (A' and B) ; U යනු මේලය යි
     P(B) = P(A and B) + P(A' and B) ; කුලක වල මේලය සම්භාවිතාවේ එකතුවකි
     P(B) = P(B/A) x P(A) + P(B/A') x P(A')

A වෙනුවට  H සහ B වෙනුවට S ආදේශ කිරීමෙන්,

P(S) = P(S/H) x P(H) + P(S/H') x P(H')
P(S) = 0.9 x 0.25 + 0.3 x 0.75 ; since P(H') = 1 - P(H) = 0.75
P(S) = 0.45 

අපට පෙර පිළිතුරම ලැබේ.

රුක් සටහන සහ අසම්භාවී සම්භාවිතාවේ සම්බන්ධතාවය

රුක් සටහන් ක්‍රමය සහ අසම්භාවී සම්භාවිතා ක්‍රමය යන ක්‍රම දෙකෙන් ගැටලුව විසදූ ආකාරය ඔබ හොඳින් නිරීක්ෂණය කළහොත් ඔබට පහත සම්බන්ධතාවය හඳුනාගත හැකිය.

රූපය 5: ක්රම දෙකක් අතර සම්බන්ධතාවය

මුළු සම්භාවිතා ප්‍රමේයය සහ බේස් ප්‍රමේයය යනු  අසම්භාවී සම්භාවිතාව හා සම්බන්ධ සම්භාවිතාව සහ සංඛ්‍යානනය විෂයන්වල භාවිත වන ඉතාම වැදගත් ප්‍රමේයයන් දෙකකි. අප මෙහි සාකච්ඡා කළ උදාහරණයේ දී පවා එම ප්‍රමේයයන්හි සමහර කොටස් වක්‍රව යොදා ගන්නා ලදී. ඔබ සැබවින්ම උනන්දුවක් දක්වන්නේ නම් කරුණාකර එම සරල නමුත් ඉතා වැදගත්ප්‍රමීයයන් දෙක ගැන ද කියවා බලන්න.